Question

已知a_n=log_（n+1）（n+2）（n∈N₊），我们将乘积a₁?a₂?…?a_n为整数的数n叫做“劣数”，则在区间（1，2006）内的所有劣数之和记为M，则M=（　　）

• A、1024
• B、2003
• C、2026
• D、2048

Answer 1

分析：由题意，a_n=log_（n+1）（n+2）（n∈N₊），我们将乘积整数的数n叫做“劣数”，运算得a₁?a₂?…?a_n=log₂（n+2），可得n+2必为2的整数次幂，由此计算出区间（1，2006）内所有的n，求M

解答：解：由对数的运算性质及a_n=log_（n+1）（n+2）（n∈N₊），得a₁?a₂?…?a_n=log₂（n+2），令log₂（n+2）=k，k∈z
故n=2^k-2，k∈z
又n∈N₊，故最小的n为2，又2¹¹-2＞2006，2¹⁰-2＜2006故n的最小值是10
由此知，符合条件的劣数组成的数列为{2^r-2}，r=2，…，10
故M=

4×(1-29)

1-2

-2×9=2026
故选C

点评：本题考查对数函数的图象与性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握对数的性质，理解题意，由对数的性质判断出劣数的特征，再由数列的求和公式求出所有劣数的和，本题有一定的综合性，由新定义得出劣数的形式是解本题的突破点，判断出最大的劣数是本题的难点