Question

【题目】已知集合，其中， ， ． 表示中所有不同值的个数．

（）设集合， ，分别求和．

（）若集合，求证： ．

（）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）见解析；（3）.

【解析】试题分析：（1）直接利用定义把集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16中的值代入即可求出l（P）和l（Q）；
（2）先由ai+aj（1≤i＜j≤n）最多有个值，可得，；再利用定义推得所有ai+aj（1≤i＜j≤n）的值两两不同，即可证明结论．
（Ⅲ）l（A）存在最小值，设，所以．由此即可证明l（A）的最小值2n-3．

试题解析：

（）由， ， ， ， ， 得，

由， ， ， ， ， 得．

（）证明：∵最多有个值，

∴，

又集合，任取， ，

当时，不妨设，则，

即，

当， 时， ，

∴当且仅当， 时， ，

即所有的值两两不同，

∴．

（）存在最小值，且最小值为，

不妨设，可得，

∴中至少有个不同的数，即，

取，则，即的不同值共有个，

故的最小值为．