题目内容
设函数.
(Ⅰ)当时,求
的极值;
(Ⅱ)当时,求
的单调区间;
(Ⅲ)若对任意及
,恒有
成立,求的取值范围.
解:(Ⅰ)依题意,知的定义域为
.
当时,
,
.
令,解得
.……2分
当时,
;当
时,
.
又,所以
的极小值为
,无极大值 .………4分
(Ⅱ)…………5分
当时,
, 令
,得
或
,令
,
得;…………6分,当
时,得
,令
,得
或
,令
,得
;当
时,
.8分
综上所述,当时,
的递减区间为
;递增区间为
.
当时,
在
单调递减.
当时,
的递减区间为
;递增区间为
.…(9分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当时,
在
单调递减.
当时,
取最大值;当
时,
取最小值.
所以
.……11分
因为恒成立,
所以,整理得
.
又 所以
, 又因为
,得
,
所以所以
.………14分
上式也可以化为:恒成立,利用一次函数求m的范围.

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