题目内容

设函数.

(Ⅰ)当时,求的极值;

(Ⅱ)当时,求的单调区间;

(Ⅲ)若对任意,恒有

成立,求的取值范围.

解:(Ⅰ)依题意,知的定义域为.

时,.

,解得.……2分

时,;当时, .

,所以的极小值为,无极大值 .………4分

(Ⅱ)…………5分

时,,  令,得,令

;…………6分,当时,得,令,得,令,得;当时,.8分

综上所述,当时,的递减区间为;递增区间为.

时,单调递减.

时,的递减区间为;递增区间为.…(9分)

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当时,单调递减.

时,取最大值;当时,取最小值.

所以

.……11分

因为恒成立,

所以,整理得.

所以,   又因为 ,得

所以所以 .………14分

上式也可以化为:恒成立,利用一次函数求m的范围.

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