题目内容

知函数y=sin2x+sin2x+3cos2x,求
(1)函数的最小值及此时的x的集合;
(2)函数的单调减区间;
(3)此函数的图象可以由函数y=
2
sin2x
的图象经过怎样变换而得到.
分析:(1)利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理,利用正弦函数的性质求得函数的最小值以及x的值.
(2)利用正弦函数的单调性,求得函数的单调减区间.
(3)先由y=
2
sin2x
的图象向左平移
π
8
个单位,再向上平移2个单位而得到.y=
2
sin(2x+
π
4
)+2
的图象.
解答:解:由y=sin2x+sin2x+3cos2x=1+sin2x+2cos2x=1+sin2x+(1+cos2x)=
2
sin(2x+
π
4
)+2

(1)当sin(2x+
π
4
)=-1
时,y最小=2-
2
,此时,由2x+
π
4
=2kπ-
π
2
,得x=kπ-
8

(2)由2kπ+
π
2
<2x+
π
4
<2kπ+
2
,得减区间为x∈[kπ+
π
8
,kπ+
8
]

(3)其图象可由y=
2
sin2x的图象向左平移
π
8
个单位,再向上平移2个单位而得到.
点评:本题主要考查了三角函数的最值,两角和公式和二倍角公式的化简求值.考查了考生基础知识和基本能力.
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