题目内容

15．当实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x≤4}\\{2x+2y+a≥0}\end{array}\right.$（a为常数）时z=$\frac{2x+y}{2x-1}$有最大值为$\frac{9}{5}$，则实数a的值为-12．

分析 画出可行域，将目标函数变形，由其几何意义可得斜率最大值，代入两点求斜率可得a的值．

解答 解：

z=$\frac{2x+y}{2x-1}$=$\frac{2x-1+y+1}{2x-1}$=1+$\frac{y+1}{2x-1}$=$1+\frac{1}{2}•\frac{y-（-1）}{x-\frac{1}{2}}$，
z=$\frac{2x+y}{2x-1}$有最大值为$\frac{9}{5}$，即可行域内动点与定点P（$\frac{1}{2}，-1$）连线的斜率的最大值为$\frac{8}{5}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{2x+2y=a}\end{array}\right.$，解得C（$-\frac{a}{4}，-\frac{a}{4}$），
由$\frac{-\frac{a}{4}-（-1）}{-\frac{a}{4}-\frac{1}{2}}=\frac{8}{5}$，解得：a=-12．
故答案为：-12．

点评 本题考查画不等式组表示的平面区域、结合图求目标函数的最值、考查数形结合的数学思想方法和数学转化思想方法，是中档题．

练习册系列答案
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