题目内容
15.当实数x,y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{x≤4}\\{2x+2y+a≥0}\end{array}\right.$(a为常数)时z=$\frac{2x+y}{2x-1}$有最大值为$\frac{9}{5}$,则实数a的值为-12.分析 画出可行域,将目标函数变形,由其几何意义可得斜率最大值,代入两点求斜率可得a的值.
解答 解:
z=$\frac{2x+y}{2x-1}$=$\frac{2x-1+y+1}{2x-1}$=1+$\frac{y+1}{2x-1}$=$1+\frac{1}{2}•\frac{y-(-1)}{x-\frac{1}{2}}$,
z=$\frac{2x+y}{2x-1}$有最大值为$\frac{9}{5}$,即可行域内动点与定点P($\frac{1}{2},-1$)连线的斜率的最大值为$\frac{8}{5}$.
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{2x+2y=a}\end{array}\right.$,解得C($-\frac{a}{4},-\frac{a}{4}$),
由$\frac{-\frac{a}{4}-(-1)}{-\frac{a}{4}-\frac{1}{2}}=\frac{8}{5}$,解得:a=-12.
故答案为:-12.
点评 本题考查画不等式组表示的平面区域、结合图求目标函数的最值、考查数形结合的数学思想方法和数学转化思想方法,是中档题.
练习册系列答案
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