题目内容

若x，y是正数，则 $数学公式$ + $数学公式$ 的最小值是

A.
3
B.
$数学公式$
C.
4
D.
$数学公式$

C
分析：连续用基本不等式求最小值，由题设知 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≥2（x+ $\text{[math]}$ ）×（y+ $\text{[math]}$ ）整理得知 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≥2（xy+ $\text{[math]}$ +1），其中等号成立的条件是x=y，又xy+ $\text{[math]}$ ≥2 $\text{[math]}$ =1等号成立的条件是xy= $\text{[math]}$ 与x=y联立得两次运用基本不等式等号成立的条件是x=y= $\text{[math]}$ ，计算出最值是4
解答：∵x，y是正数，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≥2（xy+ $\text{[math]}$ +1），
等号成立的条件是x+ $\text{[math]}$ =y+ $\text{[math]}$ ，
解得x=y，①
又xy+ $\text{[math]}$ ≥2 $\text{[math]}$ =1
等号成立的条件是xy= $\text{[math]}$ ②
由①②联立解得x=y= $\text{[math]}$ ，
即当x=y= $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 的最小值是4
故应选C．
点评：本题考查基本不等式，解题过程中两次运用基本不等式，注意验证两次运用基本不等式时等号成立的条件是否相同，若相同时，代数式才能取到计算出的最小值，否则最小值取不到．本题是一道易错题．