题目内容

19.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAD是边长为2的正三角形,平面ABCD⊥平面PAD,M是PC的中点,O是AD的中点,则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

分析 以O为原点,在平面ABCD内过O作AB的平行线为x轴,以OD为y轴,以OP为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线BM与平面PCO所成角的正弦值.

解答 解:以O为原点,在平面ABCD内过O作AB的平行线为x轴,以OD为y轴,以OP为z轴,
建立空间直角坐标系,
B(2,-1,0),C(2,1,0),P(0,0,$\sqrt{3}$),
M(1,$\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$),O(0,0,0),
$\overrightarrow{BM}$=(-1,$\frac{3}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$),$\overrightarrow{OP}$=(0,0,$\sqrt{3}$),$\overrightarrow{OC}$=(2,1,0),
设平面PCO的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OP}=\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OC}=2x+y=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,-2,0),
设直线BM与平面PCO所成角为θ,
则sinθ=|cos<$\overrightarrow{BM},\overrightarrow{n}$>|=|$\frac{\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BM}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-1-3}{2\sqrt{5}}$|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
∴直线BM与平面PCO所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
故答案为:$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

点评 本题考查线面角的正弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.

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