Question

甲、乙、丙三人在同一个办公室，办公室只有一部电话机，设经该打进的电话是打给甲、乙、丙的概率分别为

1

6

，

1

3

，

1

2

，若在一段时间内打进3个电话，且各个电话相互独立．
（Ⅰ）求这三个电话是打给同一人的概率；
（Ⅱ）求这三个电话中恰有两上是打给乙的概率；
（Ⅲ）设三个电话中打给乙与丙的个数差的绝对值为X，求X的分布列和E（X）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）三个电话是打给同一个人的包括打给甲的，打给乙的，打给丙的，因各个电话相互独立且前面所说的三件事不可能同时发生，由互斥事件和相互独立事件同时发生的概率公式得到结果．
（Ⅱ）三个电话有两个是打给乙的，打给甲的概率是

1

6

，三次试验打给甲发生了两次，根据独立重复试验公式得到结果．
（Ⅲ）X的取值分别为0，1，2，3，然后分别求出X相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式进行求解即可．

解答：解：（Ⅰ）由互斥事件有一个发生的概率公式和独立事件同时发生的概率公式，
所求概率为：p=(

1

6

)3+(

1

3

)3+(

1

2

)3=

1

6

．
（Ⅱ）这是n=3，p=

1

3

的独立重复试验，
故所求概率为：P3(2)=

C

2 3

(

1

3

)2(

2

3

)=

2

9

．
（Ⅲ）X的取值分别为0，1，2，3
P（X=0）=(

1

6

)3+A₃³

1

6

×

1

3

×

1

2

=

37

216

  P（X=1）=3（

1

6

×

1

6

×

1

3

+

1

6

×

1

6

×

1

2

+

1

3

×

1

3

×

1

2

+

1

3

×

1

2

×

1

2

）=

105

216

P（X=2）=3（

1

6

×

1

3

×

1

3

+

1

6

×

1

2

×

1

2

）=

39

216

  P（X=3）=

1

3

× 

1

3

× 

1

3

+

1

2

×

1

2

×

1

2

=

35

216

X	0	1	2	3
P	37 216	105 216	39 216	35 216

∴E（X）=1×

105

216

+2×

39

216

+3×

35

216

=

288

216

=

4

3

点评：解题时抓住独立重复试验的特点：试验是在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验，要熟练应用独立重复试验的公式解决问题，这是高考题中会出到的一种题型．