Question

已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆相切，过点P(－4,0)作斜率为的直线l，使得l和G交于A、B两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，又满足

（1）求双曲线G的渐近线方程

（2）求双曲线G的方程

（3）椭圆S的中心在原点，它的短轴是G的实轴，如果S中垂直于l的平行弦的中点轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，求椭圆S的方程。

Answer 1

（1）（2）（3）

解析:

(1)设双曲线G的渐近线方程为y=kx，则由渐近线与圆相切可得，所以，故渐近线方程为

(2)由（1）可设双曲线G的方程为，把直线l的方程代入双曲线并整理得则     （1）

,P、A、B、C共线且在线段AB上

即整理得

将（1）式带入得m=8故双曲线G的方程为

(3)由提议可设椭圆方程为设弦的端点分别为，，MN的中点为，则，作差得故垂直于l的平行弦中点的轨迹为直线截在内的部分。又由题意，这个轨迹恰好是的渐近线截在内的部分

即