题目内容
等差数列{an}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三列中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一行.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn}满足:bn=
,设数列{bn}的前n项和Sn(n∈N*),证明:Sn<2.
第一列 | 第二列 | 第三列 | |
第一行 | -3 | 3 | 1 |
第二行 | 5 | 0 | 2 |
第三行 | -1 | 2 | 0 |
(Ⅱ)若数列{bn}满足:bn=
an+2 |
2n |
分析:(Ⅰ)先要结合所给列表充分讨论符合要求的所有情况,根据符合的情况进一步分析公差进而求得数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)首先要利用第(Ⅰ)问的结果对数列数列{an},进而可求bn,然后结合通项的特点,利用错位相减法进行数列的前n项和,即可证明
(Ⅱ)首先要利用第(Ⅰ)问的结果对数列数列{an},进而可求bn,然后结合通项的特点,利用错位相减法进行数列的前n项和,即可证明
解答:解:(Ⅰ)当a1=-3时,不合题意;当a1=5时,不合题意;
当a1=-1时,当且仅当a2=0,a3=1时符合题意;
因此a1=-1,a2=0,a3=1,
所以等差数列{an}的公差d=1,
故an=-1+(n-1)•1=n-2.…(4分)
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知an=n-2则bn=
=
.…(5分)
∵Tn=
+2×
+3×
+…+n×
①
Tn=
+
+…+
②…(8分)
①-②得:
Tn=
+
+…+
-
=
-
×
所以 Tn=2-
-
<2…(12分)
当a1=-1时,当且仅当a2=0,a3=1时符合题意;
因此a1=-1,a2=0,a3=1,
所以等差数列{an}的公差d=1,
故an=-1+(n-1)•1=n-2.…(4分)
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知an=n-2则bn=
an+2 |
2n |
n |
2n |
∵Tn=
1 |
2 |
1 |
22 |
1 |
23 |
1 |
2n |
1 |
2 |
1 |
22 |
2 |
23 |
n |
2n+1 |
①-②得:
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
22 |
1 |
2n |
n |
2n+1 |
| ||||
1-
|
n |
2n |
1 |
2 |
所以 Tn=2-
1 |
2n-1 |
n+2 |
2n |
点评:本题考查的是数列求和问题.在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、错位相减求和的方法、等差数列通项的求法以及运算能力
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