题目内容

等差数列{an}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三列中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一行.
第一列 第二列 第三列
第一行 -3 3 1
第二行 5 0 2
第三行 -1 2 0
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{bn}满足:bn=
an+2
2n
,设数列{bn}的前n项和Sn(n∈N*),证明:Sn<2.
分析:(Ⅰ)先要结合所给列表充分讨论符合要求的所有情况,根据符合的情况进一步分析公差进而求得数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)首先要利用第(Ⅰ)问的结果对数列数列{an},进而可求bn,然后结合通项的特点,利用错位相减法进行数列的前n项和,即可证明
解答:解:(Ⅰ)当a1=-3时,不合题意;当a1=5时,不合题意;
当a1=-1时,当且仅当a2=0,a3=1时符合题意;
因此a1=-1,a2=0,a3=1,
所以等差数列{an}的公差d=1,
故an=-1+(n-1)•1=n-2.…(4分)
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知an=n-2则bn=
an+2
2n
=
n
2n
.…(5分)
Tn=
1
2
+2×
1
22
+3×
1
23
+…+n×
1
2n

1
2
Tn
=
1
22
+
2
23
+…+
n
2n+1
②…(8分)
①-②得:
1
2
Tn
=
1
2
+
1
22
+…+
1
2n
-
n
2n+1
=
1
2
(1-
1
2n
)
1-
1
2
-
n
2n
×
1
2

 所以 Tn=2-
1
2n-1
-
n+2
2n
<2…(12分)
点评:本题考查的是数列求和问题.在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、错位相减求和的方法、等差数列通项的求法以及运算能力
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