Question

设函数f(x)=x²-2tx+4t³+t²-3t+3,其中x∈R,t∈R,将f(x)的最小值记为g(t).

(1)求g(t)的表达式;

(2)讨论g(t)在区间［-1,1］内的单调性;

(3)若当t∈［-1,1］时,|g(t)|≤k恒成立,其中k为正数,求k的取值范围.

Answer 1

解:(1)f(x)=(x-t)²+4t³-3t+3,当x=t时,f(x)达到其最小值g(t),即g(t)=4t³-3t+3.

(2)∵g′(t)=12t²-3=3(2t+1)(2t-1),

列表如下:

t	(-1,)		(,)		(,1)
g′(t)	+	0	-	0	+
g(t)	↗	极大值g()	↘	极小值g()	↗

由此可见,g(t)在区间(-1,)和(,1)单调递增,在区间(,)单调递减.

(3)∵g(1)=g()=4,g(-1)=g()=2,∴g(t)_max=4,g(t)_min=2;

又∵|g(t)|≤k,即-k≤g(t)≤k恒成立,∴

综合可得k的范围为k≥4.