题目内容
已知△
的两个顶点
的坐标分别是
，
，且
所在直线的斜率之积等于
．
（1）求顶点
的轨迹
的方程，并判断轨迹为何种圆锥曲线；
（2）当
时，过点
的直线
交曲线
于
两点，设点
关于
轴的对称点为
(
不重合)， 试问：直线
与
轴的交点是否是定点？若是，求出定点，若不是，请说明理由.
（1）详见解析；（2）
.
解析试题分析：（1）设出顶点C的坐标，由AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）列式整理得到顶点C的轨迹E的方程，然后分m的不同取值范围判断轨迹E为何种圆锥曲线；
（2）把
代入E得轨迹方程，由题意设出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出M，N两点的横坐标的和与积，由两点式写出直线MQ的方程，取y=0后求出x，结合根与系数关系可求得x=2，则得到直线MQ与x轴的交点是定点，并求出定点．.
试题解析：（1）由题知：
化简得：
2分
当
时 轨迹表示焦点在
轴上的椭圆，且除去
两点；
当
时 轨迹表示以
为圆心半径是１的圆，且除去两点；
当
时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆，且除去两点；
当
时 轨迹表示焦点在轴上的双曲线，且除去两点；6分
（2）设
依题直线的斜率存在且不为零，则可设:
，
代入
整理得
，
， 9分
又因为不重合，则
的方程为
令
，
得
故直线过定点
. 14分
解二：设
依题直线的斜率存在且不为零，可设:
代入整理得：
,
， 9分的方程为 令，
得
直线过定点 14分
考点：1.椭圆的简单性质；2.与直线有关的动点轨迹方程.
练习册系列答案
相关题目
，1)到两焦点的距离之和为4
.
＝3
.求过O，A，B三点的圆的方程．
（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），点A（2，0）在椭圆C上，斜率为1的直线
与椭圆C交于不同两点M，N.
的长；
＝1(a>b>0)上两点，已知m＝
，n＝
，若m·n＝0且椭圆的离心率e＝
，短轴长为2，O为坐标原点．
的右焦点为F2（1，0），点
在椭圆上.
在圆
上，M在第一象限，过M作圆
＝1(a＞b＞0)的离心率为
，其左、右焦点分别是F1、F2，过点F1的直线l交椭圆C于E、G两点，且△EGF2的周长为4
.
＋
＝t
(O为坐标原点)，当|
－
|＜
时，求实数t的取值范围．
，点
，过
的直线
交抛物线
于
两点.
，抛物线
中点的连线垂直于
轴，求直线
为小于零的常数，点
关于
，求证：直线
过定点
在点
，
处的切线垂直相交于点
，直线
与椭圆
相交于
，
两点．
的焦点
与椭圆
的左焦点
的距离；
，试问：是否存在直线
，
成等比数列？若存在，求直线
与椭圆E相交于P,Q两点,且
的最大值为
.
,过点P且平行于y轴的直线与椭圆E相交于另一点M,试问M,F,Q是否共线，若共线请证明；反之说明理由.