题目内容
若数列{an}满足
-
=d（n∈N*，d为常数），则称数列{an}为调和数列，已知数列{
}为调和数列，且x1+x2+…+x20=200，则x1+x20=
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| an |
| 1 |
| xn |
20
20
；若x5＞0，x16＞0，则x5•x16的最大值为100
100
．分析：由题意知数列{x}是首相为x1，公差为d1的等差数列，则x1+x2+x3+…+x20=x1+x1+d1+x1+2d1+…+x1+19d1=20x1+（1+19）×
=20d1+190d1=200，所求x5+x16=2x1+19d1=
=20．x1+x20=x5+x16=20．
x5•x16≤(
)2=(
)2=100．
| 19 |
| 2d1 |
| 200 |
| 10 |
x5•x16≤(
| x5+x16 |
| 2 |
| 20 |
| 2 |
解答：解：由题意知数列{an}的倒数成等差数列，则数列{
}的倒数成等差数列，
即x成等差数列，
所以设数列{x}是首相为x1，公差为d1的等差数列，
则x1+x2+x3+…+x20=x1+x1+d1+x1+2d1+…+x1+19d1
=20x1+（1+19）×
=20d1+190d1=200，…①
所求x5+x16=2x1+19d1=
=20．
x1+x20=x5+x16=20．
x5•x16≤(
)2=(
)2=100．
故答案为：20，100．
| 1 |
| x |
即x成等差数列，
所以设数列{x}是首相为x1，公差为d1的等差数列，
则x1+x2+x3+…+x20=x1+x1+d1+x1+2d1+…+x1+19d1
=20x1+（1+19）×
| 19 |
| 2d1 |
所求x5+x16=2x1+19d1=
| 200 |
| 10 |
x1+x20=x5+x16=20．
x5•x16≤(
| x5+x16 |
| 2 |
| 20 |
| 2 |
故答案为：20，100．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
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(
)
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