Question

13．已知函数f（x）=x-x^-1．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）若x∈（1，+∞）时，总有f（x）≥m成立，试求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用函数的奇偶性的定义，即可判断证明；
（2）求出f（x）的导数，说明f（x）在x＞1上的单调性，由恒成立思想求得m≤f（1）=0．

解答 解：（1）f（x）在x≠0上为奇函数．
f（x）的定义域为{x|x≠0，x∈R}关于原点对称，
f（-x）=-x-$\frac{1}{-x}$=-（x-$\frac{1}{x}$）=-f（x），
即有f（x）为奇函数；
（2）当x＞1时，f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，f（x）递增，
即有f（x）＞f（1）=0，
f（x）≥m恒成立，
即有m≤f（1）=0．
则实数m的取值范围为（-∞，0]．

点评 本题考查函数的奇偶性的判断和单调性的判断及运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用单调性解决，考查运算能力，属于中档题．