题目内容

如图，F是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C的右焦点，\直线l：x=4是椭圆C的右准线，F到直线l的距离等于3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上动点，PM⊥l，垂足为M．是否存在点P，使得△FPM为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（1）设椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），
由已知，得
a2
c
=4
a2
c
-c=3
∴
a=2
c=1
∴b=
3
．
所以椭圆C的方程为
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）由
PF
PM
=e=
1
2
，得PF=
1
2
PM．∴PF≠PM．
①若PF=FM，则PF+FM=PM，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，∴PF不可能与PM相等．
②若FM=PM，设P（x，y）（x≠±2），则M（4，y）．
∴
32+y2
=4-x，∴9+y2=16-8x+x2，又由
x2
4
+
y2
3
=1，得y2=3-
3
4
x2．
∴9+3-
3
4
x2=16-8x+x2，∴
7
4
x2-8x+4=0．∴7x2-32x+16=0．
∴x=
4
7
或x=4．∵x∈（-2，2），∴x=
4
7
．∴P（
4
7
，±
3
15
7
）．
综上，存在点P（
4
7
，±
3
15
7
），使得△PFM为等腰三角形．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆上点P(3
2
，4)到两焦点的距离之和是12，则椭圆的标准方程是______．
巳知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为
3
2
，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为______．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
2
，左，右焦点分别为F1，F2，点G在椭圆上，
GF1
⊥
GF2
，且△GF1F2的面积为3，则椭圆的方程为______．
设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），右准线l交x轴于点A，且
AF1
=2
AF2
．
（Ⅰ）试求椭圆的方程；
（Ⅱ）过F1、F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示），试求四边形DMEN面积的最大值．
若方程
x2
a2
+
y2
a+6
=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是______．
在直角坐标系xoy中，点P到两点(-
3
，0)，(
3
，0)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+2与C交于不同的两点A，B．
（1）写出C的方程；
（2）求证：-1＜
OA
•
OB
＜
13
4
．
已知A，B，P为椭圆
x2
m2
+
y2
n2
=1（m，n＞0）上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPA•kPB=-2，则该椭圆的离心率为______．
已知椭圆
x2
4
+
y2
3
=1，F1F2是它的两个焦点，P是这个椭圆上任意一点，那么当|PF1|•|PF2|取最大值时，P、F1、F2三点（　　）
A．共线
B．组成一个正三角形
C．组成一个等腰直角三角形
D．组成一个锐角三角形

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