题目内容
如图，F是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C的右焦点，\直线l：x=4是椭圆C的右准线，F到直线l的距离等于3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上动点，PM⊥l，垂足为M．是否存在点P，使得△FPM为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上动点，PM⊥l，垂足为M．是否存在点P，使得△FPM为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
（1）设椭圆C的方程为
+
=1（a＞b＞0），
由已知，得
∴
∴b=
．
所以椭圆C的方程为
+
=1．
（2）由
=e=
，得PF=
PM．∴PF≠PM．
①若PF=FM，则PF+FM=PM，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，∴PF不可能与PM相等．
②若FM=PM，设P（x，y）（x≠±2），则M（4，y）．
∴
=4-x，∴9+y2=16-8x+x2，又由
+
=1，得y2=3-
x2．
∴9+3-
x2=16-8x+x2，∴
x2-8x+4=0．∴7x2-32x+16=0．
∴x=
或x=4．∵x∈（-2，2），∴x=
．∴P（
，±
）．
综上，存在点P（
，±
），使得△PFM为等腰三角形．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
由已知，得
|
|
| 3 |
所以椭圆C的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）由
| PF |
| PM |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
①若PF=FM，则PF+FM=PM，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，∴PF不可能与PM相等．
②若FM=PM，设P（x，y）（x≠±2），则M（4，y）．
∴
| 32+y2 |
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
∴9+3-
| 3 |
| 4 |
| 7 |
| 4 |
∴x=
| 4 |
| 7 |
| 4 |
| 7 |
| 4 |
| 7 |
3
| ||
| 7 |
综上，存在点P（
| 4 |
| 7 |
3
| ||
| 7 |
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