Question

给出下列六个命题：
（1）若f（x-1）=f（1-x），则函数f（x）的图象关于直线x=1对称．
（2） y=f（x-1）与y=f（1-x）的图象关于直线x=0对称．
（3）y=f（x+3）的反函数与y=f^-1（x+3）是相同的函数．
（4）y=(

1

2

)|x|-sin2x+2009无最大值也无最小值．
（5）y=

2tanx

1-tan2x

的周期为π
（6）y=sinx（0≤x≤2π）有对称轴两条，对称中心三个．
则正确命题的个数是（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、0个

Answer 1

分析：（1）（2）（3）考查抽象函数的对称性，可以采用特殊函数进行验证，
（4）先化简，可以看出(

1

2

)|x| ≤1，

1

2

cos2x≤

1

2

，可考虑最大值；
（5）化为y=tan2x，周期可求；（6）注意定义域，可结合图象进行判断．

解答：解：（1）f（x-1）=f（1-x）?f（x-1）=f（-（x-1）），则函数f（x）的图象关于直线x=0对称，命题错误
（2）取f（x）=x-1，则f（x-1）=x-2，f（1-x）=-x，图象不关于直线x=0对称，命题错误
（3）取f（x）=x-1，y=f（x+3）=x+2，y=f^-1（x）=x+1，y=f^-1（x+3）=x+4，命题错误．
（4）y=(

1

2

)|x|-sin2x+2009=(

1

2

)|x| -

1-cos2x

2

+2009=(

1

2

)|x|+

1

2

cos2x+2009 -

1

2

∵(

1

2

)|x| ≤1，

1

2

cos2x≤

1

2

，且x=0时同时取等号，∴x=0时，y有最大值，所以命题错误．
（5）原函数可化为y=tan2x，周期为

π

2

，命题错误．
（6）受0≤x≤2π的影响，y=sinx只有一个对称中心．
故选D

点评：本题考查抽象函数和具体函数的性质，问题综合性强．