题目内容

A是实数集,满足若aA,则A且1??A

(1)若2∈A,则A中至少还有几个元素?求出这几个元素。

(2)A能否为单元素集合?请说明理由。

(3)若aA,证明:1-A

(4)求证:集合A中至少含有三个不同的元素。

(1)A中至少还有两个元素:-1和

(2)A不可能是单元素集合,理由见解析。

(3)证明见解析。

(4)证明见解析。


解析:

(1)由2∈A得,-1∈A,同理A ,又得2∈A

A中至少还有两个元素:-1和

(2)如果A为单元素集合,则

=0,该方程无实数解,故在实数范围内,A不可能是单元素集。

(3)证明:由aA得,A ,则A,可得出A,即1-A

(4)证明:由(3)知aA时,A, 1-A 。现在证明a,1-三数互不相等。①若a=,即a2a+1=0 ,方程无解,∴a

②若a=1-,即a2-a+1=0,方程无解,∴a≠1-

③若1- =,即a2-a+1=0,方程无解,∴1-

综上所述,集合A中至少有三个不同的元素。

点评:(4)的证明中要说明三个数互不相等,否则证明欠严谨。

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