Question

设A是实数集，满足若a∈A，则

1

1-a

∈A，a≠1且1∉A．
（1）若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素．
（2）A能否为单元素集合？请说明理由．
（3）若a∈A，证明：1-

1

a

∈A．

Answer 1

分析：（1）根据题意，若2∈A，则有

1

1-2

=-1，又有

1

1+1

=

1

2

，而

1

1- 1 2

=2，综合分析可得A中的元素；
（2）用反证法，如果A为单元素集合，则a=

1

1-a

有解，对其变形可得a²-a+1=0，分析可得这个二次方程无解，可得矛盾，即可得证明；
（3）根据题意，由a∈A可得

1

1-a

∈A，进而可得

1

1- 1 1-a

∈A，对

1

1- 1 1-a

变形可得

1

1- 1 1-a

=1-

1

a

，即可得证明．

解答：解：（1）∵2∈A，
∴

1

1-a

=

1

1-2

=-1∈A；
∴

1

1-a

=

1

1+1

=

1

2

∈A；
∴

1

1-a

=

1

1- 1 2

=2∈A．
因此，A中至少还有两个元素：-1和

1

2

．
（2）用反证法，如果A为单元素集合，则a=

1

1-a

有解，
整理得a²-a+1=0，
由△=1-4=-3＜0，则该方程无实数解，
故在实数范围内，A不可能是单元素集．
（3）证明：a∈A⇒

1

1-a

∈A⇒

1

1- 1 1-a

∈A，
而

1

1- 1 1-a

=-

1-a

a

=1-

1

a

，即1-

1

a

∈A．

点评：本题考查元素与集合的关系，关键是理解集合A的含义．