题目内容

设A是实数集,满足若a∈A,则∈A,a≠1且1∉A.
(1)若2∈A,则A中至少还有几个元素?求出这几个元素.
(2)A能否为单元素集合?请说明理由.
(3)若a∈A,证明:1-∈A.
【答案】分析:(1)根据题意,若2∈A,则有=-1,又有=,而=2,综合分析可得A中的元素;
(2)用反证法,如果A为单元素集合,则a=有解,对其变形可得a2-a+1=0,分析可得这个二次方程无解,可得矛盾,即可得证明;
(3)根据题意,由a∈A可得∈A,进而可得∈A,对变形可得=1-,即可得证明.
解答:解:(1)∵2∈A,
==-1∈A;
==∈A;
==2∈A.
因此,A中至少还有两个元素:-1和
(2)用反证法,如果A为单元素集合,则a=有解,
整理得a2-a+1=0,
由△=1-4=-3<0,则该方程无实数解,
故在实数范围内,A不可能是单元素集.
(3)证明:a∈A⇒∈A⇒∈A,
=-=1-,即1-∈A.
点评:本题考查元素与集合的关系,关键是理解集合A的含义.
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