Question

已知圆C经过坐标原点，且与直线x-y+2=0相切，切点为A（2，4）．
（1）求圆C的方程；
（2）过动点P作圆C和圆D：（x+9）²+（y-1）²=50的切线PM、PN（切点分别为M、N），使得|PM|=|PN|，求动点P的轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意可求得直线AC的方程，可求得OA的垂直平分线的方程，二者联立即可求得圆心坐标，从而可得圆C的方程；
（2）依题意，点P的轨迹就是CD垂直平分线．
解答：解：（1）设圆C的圆心为C，依题意得直线AC的斜率k_AC=-1，
∴直线AC的方程为y-4=-（x-2），即x+y-6=0．
∵直线OA的斜率k_OA==2，
∴线段OA的垂直平分线为y-2=-（x-1），即x+2y-5=0．
解方程组得圆心C（7，-1）．
∴圆C的半径r=|AC|==5，
圆C的方程为（x-7）²+（y+1）²=50．
（2）∵圆C与圆D两圆半径相等，|PM|=|PN|，所以|PC|=|PD|，
∴P在线段CD的中垂线上，
∵C（7，-1），D（-9，1），CD的中点坐标为（-1，0），k_CD=8，
∴CD的中垂线方程为：8x-y+8=0．
∴P的轨迹方程为：8x-y+8=0．
点评：本题考查圆的标准方程，考查直线和圆的方程的应用，考查分析与运算能力，属于中档题．