Question

已知圆C经过坐标原点，且与直线x-y+2=0相切，切点为A（2，4）．
（1）求圆C的方程；
（2）若斜率为-1的直线l与圆C相交于不同的两点M，N，求

AM

•

AN

的取值范围..

Answer 1

分析：（1）解法一：求出直线AC的方程，再求出线段OA的垂直平分线方程，联立方程组求出圆心C的坐标，可得圆的半径，
从而写出C的方程．
解法二：设圆C的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，根据点A和点O在圆上，圆心到切线的距离等于半径建立方程组，
求出a、b、r的值 从而求出C的方程．
（2）解：设直线l的方程为y=x+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），把直线方程代入圆的方程利用根与系数的关系求出
x₁+x₂和x₁•x₂的值，代入

AM

•

AN

 的解析式化简为（m-6）²．再根据圆心到直线的距离小于半径求出m的范围，即可得到（m-6）²的距离．

解答：（1）解法一：圆的圆心为C，依题意得直线AC的斜率K_AC=-1，
∴直线AC的方程为y-4=-（x-2），即x+y-6=0．
∵直线OA的斜率K_OA=

4

2

=2，∴线段OA的垂直平分线为y-2=-

1

2

（x-1），即x+2y-5=0．
解方程组

x+y-6=0 x+2y-5=0

 得圆心C的坐标为（7，-1）．
∴圆C的半径为r=|AC|=

(7-2)2+(-1-4)2

=5

2

，
∴圆C的方程为（x-7）²+（y+1）²=50．
解法二：设圆C的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，
依题意得

(2-a)2+(4-b)2=r2 |a-b+2| 2 =r a2 +b2=r2

，解得  

a=7 b=-1 r=5 2

，∴圆的方程为：（x-7）²+（y+1）²=50．
（2）解：设直线l的方程为y=-x+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由 

y=-x+m (x-7)2+(y+1)2=50

 消去y得 2x²-（2m+16）x+m²+2m=0．
∴x₁+x₂=m+8，x1 •x2=

m2+2m

2

．
∴

AM

•

AN

=（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-4）（y₂-4）
=（x₁-2）（x₂-2）+（-x₁+m-4）（-x₂+m-4）=2x₁•x₂-（m-2）（x₁+x₂）+（m-4）²+4
=m²+2-（m-2）（m+8）+（m-4）²+4=m²-12m+36=（m-6）²．
∵直线l与圆C相交于不同两点，∴

|7-1-m|

2

＜5

2

，解得-4＜m＜16．
∴0≤（m-6）²＜100，
∴

AM

•

AN

的取值范围是[0，100）．

点评：本题主要考查两个向量数量积公式的应用，直线和圆的位置关系的应用，属于中档题．