Question

已知函数f（x）=x³+3ax-1的导函数为f^′（x），g（x）=f^′（x）-ax-3．
（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，求实数x的取值范围；
（3）若x•g^′（x）+lnx＞0对一切x≥2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=-2时，求函数f（x）=x³+3ax-1的导函数为f^′（x），令f^′（x）＞0，求出单调增区间；令f^′（x）＜0求出单调减区间；
（2）若对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，变更主元，转化为关于a的一次函数，求出实数x的取值范围；
（3）依题意，x•g^′（x）+lnx＞0对一切x≥2恒成立，采取分离参数的方法，转化为求函数的最值问题．

解答：解：（1）当a=-2时，f′（x）=3x²-6．令f′（x）=0得x=±

2

，
故当x＜-

2

或x＞

2

时f′（x）＞0，f′（x）单调递增；
当-

2

＜x＜

2

时f^′（x）＜0，f（x）单调递减．
所以函数f′（x）的单调递增区间为（-∞，-

2

]，[

2

，+∞）；单调递减区间为(-

2

，

2

)；

（2）因f′（x）=3a²+3a，故g（x）=3x²-ax+3a-3．
令g（x）=h（a）=a（3-x）+3x²-3，要使h（a）＜0对满足-1≤a≤1的一切a成立，
则

h(-1)=3x2+x-6＜0 h(1)=3x2-x＜0

，解得0＜x＜

1

3

；
0＜x＜

1

3

．

（3）因为g（x^′）=6x-a，
所以X（6x-a）+lnx＞0
即a＜6x+

lnx

x

=h(x)对一切x≥2恒成立．h′(x) =6+

1-lnx

x2

=

6x2+ 1-lnx

x2

，
令6x²+1-lnx=φ（x），φ′(x)=12x-

1

x

．
因为x≥2，所以φ^′（x）＞0，
故φ（x）在[2，+∞）单调递增，有φ（x）≥φ（2）=25-ln2＞0．
因此h^′（x）＞0，从而h (x)≥h (2)=12+

ln2

2

．
所以a＜hmin(x)=h (2)=12+

ln2

2

．

点评：考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，特别是恒成立问题，（2）若对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，变更主元，转化为关于a的一次函数，求出实数x的取值范围；（3）x•g^′（x）+lnx＞0对一切x≥2恒成立，采取分离参数的方法，转化为求函数的最值问题体现了转化的思想方法，属难题．