题目内容

第29届奥运会期间，来自美国和英国的共计6名志愿者被随机地平均分配到跳水、篮球、体操这三个岗位服务，且跳水岗位至少有一名美国志愿者的概率是 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求6名志愿者中来自美国、英国的各几人；
（Ⅱ）求篮球岗位恰好美国人、英国人各一人的概率．
（Ⅲ）设随机变量X为在体操岗位服务的美国志愿者的个数，求X的分布列及期望．

解：（Ⅰ）记至少一名美国志愿者被分到跳水岗位为事件A，
则A的对立事件为“没有美国志愿者被分到跳水岗位”，设有美国人x个，1≤x＜6，
那么 $\text{[math]}$ ，
解得x=2，即来自美国的2人，来自英国的4人．（4分）
（Ⅱ）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生所包含的事件是从6个人中选2个人，共有C₆²种结果，
满足条件的事件是从美国人中选一个，从英国人中选一个，共有C₄¹C₂¹种结果
记篮球岗位恰好美国人、英国人各有一人为事件E，那么 $\text{[math]}$ ，
所以篮球岗位恰好美国人、英国人各一人的概率是 $\text{[math]}$ ．（8分）
（III）由题意知变量X的所有可能值为0，1，2，
根据变量对应的事件和等可能事件的概率公式得到，
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴变量的分布列为：

X	0	1	2
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

（10分）
∴ $\text{[math]}$ （人）．（12分）
分析：（I）根据至少一名美国志愿者被分到跳水岗位的对立事件为没有美国志愿者被分到跳水岗位，设出来自美国的人数，根据对立事件的概率列出关于x的方程，得到结果．
（II）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件是从6个人中选2个人，共有C₆²种结果，满足条件的事件是从美国人中选一个，从英国人中选一个，共有C₄¹C₂¹种结果，得到概率．
（III）由题意知变量X的所有可能值为0，1，2，根据变量对应的事件和等可能事件的概率公式得到X为0，1，2三个数字时对应的概率，写出变量的分布列和做出期望值．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，本题解题的关键是理解题意，看出变量对应的事件，根据对应的事件做出对应的概率，本题是一个中档题目．