Question

已知点A（1，0），定直线l：x=-1，B为l上的一个动点，过B作直线m⊥l，连接AB，作线段AB的垂直平分线n，交直线m于点M．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）过点N（4，0）作直线h与点M的轨迹C相交于不同的两点P，Q，求证OP⊥OQ（O为坐标原点）．

Answer 1

分析：（1）利用|MA|=|MB|，根据抛物线的定义可知M的轨迹为以A为焦点，l为准线的抛物线．进而求得抛物线的方程．
（2）当x⊥x时，把直线h与抛物线的方程联立求得y，P，Q坐标可得，进而求得K_OP=1，K_OQ=-1推断出OP⊥OQ；当h与x轴不垂直时，设出直线l的方程，与抛物线的方程联立消去y，利用韦达定理表示出x₁?x₂，则y₁?y₂的值可得，进而求得

OA

•

OB

推断出OP⊥OQ．

解答：解：（1）由已知|MA|=|MB|
∴M的轨迹为以A为焦点，l为准线的抛物线．
∴M的轨迹方程为y²=4x．
（2）当h⊥x时，h：x=4由

x=4 y2=4x

得y=±4
此时，P（4，4），Q（4，-4）
K_OP=1，K_OQ=-1∴OP⊥OQ
当h与x轴不垂直时，设l：y=k（x-4）
由

y=k(x-4) y2=4x

得k²x²-（8k²+4）x+16k²=0
x₁?x₂=16，y1?y2=-

x 1 1 ? x 2 2

=-16
∴

OA

•

OB

=x₁?x₂+y₁?y₂=0
∴OP⊥OQ

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系，抛物线的定义．判断直线垂直的方法一般是利用斜率之积为-1或向量之积为0的方法．