Question

5．函数f（x）=$\frac{1}{2}$x³+sinx+2x的定义域为R，数列{a_n}是公差为d的等差数列，且a₁+a₂+a₃+a₄+…a₂₀₁₅＜0，记m=f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…f（a₂₀₁₅），关于实数m，下列说法正确的是（　　）

• A． m恒为负数
• B． m恒为正数
• C． 当d＞0时，m恒为正数；当d＜0时，m恒为负数
• D． 当d＞0时，m恒为负数；当d＜0时，m恒为正数

Answer 1

分析 由函数的解析式可得f（x）是奇函数，由它的导数f′（x）≥0，可得函数f（x）在R上是增函数．分d＞0和d＜0以及d=0三种情况，分别利用函数的奇偶性和单调性，求得 f（a₁）+f（a₂₀₁₅）＜0，f（a₂）+f（a₂₀₁₄）＜0，f（a₃）+f（a₂₀₁₃）＜0，…，从而得到 m＜0，从而得出结论．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{1}{2}$x³+2x+sinx的定义域为R、是奇函数，
且它的导数f′（x）=$\frac{3}{2}$x²+1+cosx≥0，故函数f（x）在R上是增函数．
因为数列{a_n}是公差为d的等差数列，分3种情况讨论：
①当d＞0时，数列为递增数列，由a₁+a₂₀₁₅＜0，
可得 a₂₀₁₅＜-a₁，∴f（a₂₀₁₅）＜f（-a₁）=-f（a₁），∴2f（a₁₀₀₈）=f（a₁）+f（a₂₀₁₅）＜0．
同理可得，f（a₂）+f（a₂₀₁₄）＜0，f（a₃）+f（a₂₀₁₃）＜0，…
故 m=f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₂）+f（a₂₀₁₄）
=f（a₁）+f（a₂₀₁₅）+f（a₂）+f（a₂₀₁₄）+f（a₃）+f（a₂₀₁₃）+…+f（a₁₀₀₈）＜0．
②当d＜0时，数列为递减数列，同理求得 m＜0．
③当d=0时，该数列为常数数列，每一项都小于，故有f（a_n）＜0，
综上，有m=f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₂₀₁₄）+f（a₂₀₁₅）＜0，
故选A．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数的奇偶性的应用，等差数列的性质，属于中档题．