Question

10．（1）把参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x={e}^{t}+{e}^{-t}}\\{y={e}^{t}-{e}^{-t}}\end{array}\right.$化为普通方程．
（2）把极坐标方程4ρsin²$\frac{θ}{2}$=5化为直角坐标方程．

Answer 1

分析 （1）把参数方程中的x，y分别平方，然后作差，能求出普通方程．
（2）由sin²$\frac{θ}{2}$=$\frac{1-cosθ}{2}$，ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，能把极坐标方程4ρsin²$\frac{θ}{2}$=5化为直角坐标方程．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}{x={e}^{t}+{e}^{-t}}\\{y={e}^{t}-{e}^{-t}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}={e}^{2t}+\frac{1}{{e}^{2t}}+2}\\{{y}^{2}={e}^{2t}+\frac{1}{{e}^{2t}}-2}\end{array}\right.$，x＞0．
∴x²-y²=4，x＞0
∴参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x={e}^{t}+{e}^{-t}}\\{y={e}^{t}-{e}^{-t}}\end{array}\right.$的普通方程为x²-y²=4，（x＞0）．
（2）∵sin²$\frac{θ}{2}$=$\frac{1-cosθ}{2}$，
∴由4ρsin²$\frac{θ}{2}$=5，得2ρ（1-cosθ）=5，即2ρ-2ρcosθ=5，
由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，得2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$-2x=5，
化简得y2=5x+$\frac{25}{4}$，
∴把极坐标方程4ρsin²$\frac{θ}{2}$=5化为直角坐标方程得${y}^{2}=5x+\frac{25}{4}$．

点评 本题考查参数方程转化成普通方程，关键在于正确的消参．考查计算、分类讨论的意识和能力，解题时要注意二倍角公式的合理运用．