Question

如图，A，B是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右顶点，M是椭圆上异于A，B的任意一点，若椭圆C的离心率为

1

2

，且右准线l的方程为x=4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线AM交l于点P，以MP为直径的圆交直线MB于点Q，试证明：直线PQ与x轴的交点R为定点，并求出R点的坐标．

Answer 1

分析：（1）由椭圆C的离心率为

1

2

，且右准线l的方程为x=4，联立方程组成方程组，即可求得椭圆C的方程；
（2）设直线AM的方程，可得点P的坐标，根据MQ⊥PQ，可得k_MQ•k_PQ=-1，利用M在椭圆上，即可得直线PQ与x轴的交点R为定点．

解答：（1）解：由题意：

c a = 1 2 a2 c =4 a2=b2+c2

，解得

a=2 b= 3

．∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．      …（6分）
（2）证明：由（1）知，A（-2，0），B（2，0），
设M（x₀，y₀），R（t，0），则直线AM的方程为y=

y0

x0+2

(x+2)，
令x=4，得y=

6y0

x0+2

，即点P的坐标为(4，

6y0

x0+2

)，…（9分）
由题意，MQ⊥PQ，∴k_MQ•k_PQ=-1，∴

y0

x0-2

•

6y0 x0+2

4-t

=-1，即

y 2 0

(x0-2)(x0+2)

=-

4-t

6

，…（12分）
又

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1，∴

y

2 0

=

3

4

(4-

x

2 0

)，∴-

4-t

6

=-

3

4

，∴t=-

1

2

．
∴直线PQ与x轴的交点R为定点(-

1

2

，0)．   …（16分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．