Question

已知定点O(0，0)、F(0，2），动点T(t，8)，动点Q满足.

(Ⅰ)求动点Q的轨迹方程；

(Ⅱ)过点F(0，2)的直线l与点Q的轨迹交于M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)两点，与x轴交于点P．若=λ₁=λ₂，分别用y₁、y₂表示出λ₁、λ₂，并求λ₁+λ₂的值.

Answer 1

解：(Ⅰ)令Q(x，y)，则=(t-x，8-y)，=(x，y-2)．

由已知，=(0，1)．

∵，∴8-y=2，

∴(8-y)²=4x²+4(y-2)²，∴=1．

∴点Q的轨迹方程为=1．

(Ⅱ)设直线l的方程为y=kx+2．

由消去x，有3y²+=48．

即(4+3k²)y²-16y+16-48k²=0．

∵M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，

则y₁+y₂=，y₁y₂=．

由=λ₁，=λ₂， ∴λ₁=, λ₂=.

∴λ₁+λ₂=

=。