Question

已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为

1

2

，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4；l₁，l₂是过点P（0，2）且互相垂直的两条直线，l₁交E于A，B两点，l₂交E交C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求l₁的斜率k的取值范围；
（Ⅲ）求

OM

•

ON

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设椭圆的标准方程，根据离心率求得a和c关系，进而根据a求得b，则椭圆的方程可得．
（2）由题意知，直线l₁的斜率存在且不为零设直线l₁和l₂的方程，分别于椭圆方程联立消去y，根据判别式求得k的范围，最后综合可得答案．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），根据韦达定理求得x₀和y₀的表达式，进而表示M和N的坐标，最后表示出

OM

•

ON

根据k的范围确定答案．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由

c a = 1 2 2a=4 a2=b2+c2

得

a=2 b= 3

∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由题意知，直线l₁的斜率存在且不为零
∵l1：y=kx+2，∴l2：y=-

1

k

x+2．
由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+2

消去y并化简整理，
得（3+4k²）x²+16kx+4=0
根据题意，△=（16k）²-16（3+4k²）＞0，解得k2＞

1

4

．
同理得(-

1

k

)2＞

1

4

，
∴

1

4

＜k2＜4，k∈(-2，-

1

2

)∪(

1

2

，2)；
（Ⅲ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀）
那么x1+x2=-

16k

3+4k2

，∴x0=

x1+x2

2

=-

8k

3+4k2

y0=kx0+2=

6

3+4k2

，∴M(-

8k

3+4k2

，

6

3+4k2

)
同理得N(-

8(- 1 k )

3+4(- 1 k )2

，

6

3+4(- 1 k )2

)，即N(

8 k

3+ 4 k2

，

6

3+ 4 k2

)
∴

OM

•

ON

=-

8k

3+4k2

•

8 k

3+ 4 k2

+

6

3+4k2

•

6

3 4 k2

=-

28

25+12(k2+ 1 k2 )

∵

1

4

＜k2＜4，∴2≤k2+

1

k2

＜

17

4

∴-

4

7

≤-

28

25+12(k2+ 1 k2 )

＜-

7

19

即

OM

•

ON

的取值范围是[-

4

7

，-

7

19

)．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题综合性强，要求学生要有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．