题目内容
已知数列{an}和{bn}，对一切正整数n都有：a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1=3n+1-2n-3成立．
（Ⅰ）如果数列{bn}为常数列，bn=1，求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）如果数列{an}的通项公式为an=n，求证数列{bn}是等比数列．
（Ⅲ）如果数列{bn}是等比数列，数列{an}是否是等差数列？如果是，求出这个数列的通项公式；如果不是，请说明理由．
（Ⅰ）如果数列{bn}为常数列，bn=1，求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）如果数列{an}的通项公式为an=n，求证数列{bn}是等比数列．
（Ⅲ）如果数列{bn}是等比数列，数列{an}是否是等差数列？如果是，求出这个数列的通项公式；如果不是，请说明理由．
分析：（I）若bn=1，根据题中等式并将n用n-1迭代，作差可得an=2•3n-2，当n=1时也适合．因此可得{an}的通项公式为an=2•3n-2．
（II）若an=n，根据题中等式可得bn+2bn-1+3bn-2+…+nb1=3n+1-2n-3，用n-1替代n，再作差得到bn+bn-1+bn-2+…+b1=2•3n-2．再将此式作一次用n-1替代n的代换，作差可得bn=4•3n-1，而n=1时也适合．由此即可得到数列{bn}的通项公式，从而得到数列{bn}是等比数列．
（II）设数列{bn}的首项为b1，公比为q，由已知得：a1bn-1q+a2bn-2q+a3bn-3q+…+anb1=3n+1-2n-3，将左边化简整理，并利用整体代换算出q[3n-2（n-1）-3]+anb1=3n+1-2n-3，从而得到an关于b1与q的分式表达式，再分q=3与q≠3两种情况加以讨论，即可得到数列{an}是否是等差数列的正确结论．
（II）若an=n，根据题中等式可得bn+2bn-1+3bn-2+…+nb1=3n+1-2n-3，用n-1替代n，再作差得到bn+bn-1+bn-2+…+b1=2•3n-2．再将此式作一次用n-1替代n的代换，作差可得bn=4•3n-1，而n=1时也适合．由此即可得到数列{bn}的通项公式，从而得到数列{bn}是等比数列．
（II）设数列{bn}的首项为b1，公比为q，由已知得：a1bn-1q+a2bn-2q+a3bn-3q+…+anb1=3n+1-2n-3，将左边化简整理，并利用整体代换算出q[3n-2（n-1）-3]+anb1=3n+1-2n-3，从而得到an关于b1与q的分式表达式，再分q=3与q≠3两种情况加以讨论，即可得到数列{an}是否是等差数列的正确结论．
解答：解：（Ⅰ）若bn=1，结合已知条件得：a1+a2+a3+…+an=3n+1-2n-3，
将n用n-1迭代，可得：a1+a2+a3+…+an-1=3n-2（n-1）-3．（n≥2）
两式相减得：an=2•3n-2，当n=1时也适合．
∴数列{an}的通项公式为an=2•3n-2． …（4分）
（Ⅱ）若an=n，由已知得：bn+2bn-1+3bn-2+…+nb1=3n+1-2n-3，
将n用n-1迭代，可得：bn-1+2bn-2+3bn-3+…+（n-1）b1=3n-2（n-1）-3，（n≥2）．
两式相减得：bn+bn-1+bn-2+…+b1=2•3n-2，…（7分）
再将n用n-1迭代，得：bn-1+bn-2+bn-3+…+b1=2•3n-1-2．
两式相减得：bn=4•3n-1，经检验n=1时也适合．
∴数列{bn}的通项公式为bn=4•3n-1，
可得数列{bn}是4为首项，公比为3的等比数列． …（10分）
（Ⅲ）设数列{bn}的首项为b1，公比为q，由已知得：
a1bn-1q+a2bn-2q+a3bn-3q+…+anb1=3n+1-2n-3
即：q（a1bn-1+a2bn-2+a3bn-3+…+an-1b1）+anb1=3n+1-2n-3
可得q[3n-2（n-1）-3]+anb1=3n+1-2n-3
∴an=
…（13分）
若q=3时，an=
，数列{an}为等差数列．
若q≠3时，因为a2-a1≠a3-a2，
∴an=
不是等差数列．
因此，当q=3时，数列{an}为等差数列；而当q≠3时，数列{an}不为等差数列…（16分）
将n用n-1迭代，可得：a1+a2+a3+…+an-1=3n-2（n-1）-3．（n≥2）
两式相减得：an=2•3n-2，当n=1时也适合．
∴数列{an}的通项公式为an=2•3n-2． …（4分）
（Ⅱ）若an=n，由已知得：bn+2bn-1+3bn-2+…+nb1=3n+1-2n-3，
将n用n-1迭代，可得：bn-1+2bn-2+3bn-3+…+（n-1）b1=3n-2（n-1）-3，（n≥2）．
两式相减得：bn+bn-1+bn-2+…+b1=2•3n-2，…（7分）
再将n用n-1迭代，得：bn-1+bn-2+bn-3+…+b1=2•3n-1-2．
两式相减得：bn=4•3n-1，经检验n=1时也适合．
∴数列{bn}的通项公式为bn=4•3n-1，
可得数列{bn}是4为首项，公比为3的等比数列． …（10分）
（Ⅲ）设数列{bn}的首项为b1，公比为q，由已知得：
a1bn-1q+a2bn-2q+a3bn-3q+…+anb1=3n+1-2n-3
即：q（a1bn-1+a2bn-2+a3bn-3+…+an-1b1）+anb1=3n+1-2n-3
可得q[3n-2（n-1）-3]+anb1=3n+1-2n-3
∴an=
| (3-q)•3n-2n(1-q)-(3-q) |
| b1 |
若q=3时，an=
| 4n |
| b1 |
若q≠3时，因为a2-a1≠a3-a2，
∴an=
| (3-q)•3n-2n(1-q)-(3-q) |
| b1 |
因此，当q=3时，数列{an}为等差数列；而当q≠3时，数列{an}不为等差数列…（16分）
点评：本题给出数列{an}、{bn}满足的等式，求它们的通项公式并讨论能否成等差数列的问题．着重考查了数列的通项与求和、等差等比数列的通项公式与前n项和公式等知识，考查了计算能力与逻辑推理能力，属于难题．
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