Question

9．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$cos（2x-φ）（0＜φ＜π），其图象过点（$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$）．
（1）求φ的值；
（2）求函数y=f（x）的单调递增区间，对称中心；
（3）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐际缩短倒原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）=$\frac{1}{2}$cos（2x-φ）（0＜φ＜π）的图象过点（$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$），求得 cos（$\frac{π}{3}$-φ）=1，可得 φ的值．
（2）由条件利用余弦函数的单调性和图象的对称性，求得函数f（x）的增区间以及f（x）的图象的对称中心．
（3）由条件利用函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，求得g（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上的最值．

解答 解：（1）由函数f（x）=$\frac{1}{2}$cos（2x-φ）（0＜φ＜π）的图象过点（$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$），
可得 $\frac{1}{2}$cos（$\frac{π}{3}$-φ）=$\frac{1}{2}$，即 cos（$\frac{π}{3}$-φ）=1，∴φ=$\frac{π}{3}$．
（2）由（1）可得函数f（x）=$\frac{1}{2}$cos（2x-$\frac{π}{3}$），令2kπ-π≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ，
求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，故函数f（x）的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
令2x-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，可得f（x）的图象的对称中心为（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{5π}{12}$，0），k∈Z．
（3）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐际缩短倒原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变，
得到函数y=g（x）=$\frac{1}{2}$cos（4x-$\frac{π}{3}$）的图象，当x∈[0，$\frac{π}{4}$]时，4x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
故当4x-$\frac{π}{4}$=$\frac{2π}{3}$时，函数g（x）取得最小值为-$\frac{1}{4}$，当4x-$\frac{π}{4}$=0时，函数g（x）取得最大值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查余弦函数的图象特征，余弦函数的单调性和图象的对称性，余弦函数的最值，函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．