Question

已知不等式kx²-2x+6k＜0的解集为B，A=（1，2），A⊆B，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：利用一元二次不等式的解集，利用A⊆B的关系确定k 的取值范围．

解答：解：①若k=0，则不等式等价为-2x＜0，所以x＞0，即B=（0，+∞）．，
因为A=（1，2），所以A⊆B成立，所以此时k=0成立．
②若k≠0，设f（x）=kx²-2x+6k，设不等式的解为x₁＜x＜x₂，
则由题意可知x₁≤1，x₂≥2．
因为x₁x₂=6＞0，所以对于方程的两个根同号．
所以要使A⊆B，则0＜x₁≤1，
若k＞0，则

f(0)＞0 f(1)≤0 f(2)≤0

，解得0＜k≤

2

7

．
若k＜0，f（x）=kx²-2x+6k的对称轴为x=-

-2

2k

=

1

k

＜0，
此时函数f（x）在x＞0时单调递减，
所以要使A⊆B，则有f（1）＜0即可，即f（1）=k-2+6k=7k-2＜0恒成立，
所以此时k＜0．
综上满足条件的实数k的范围是k≤

2

7

．

点评：本题主要考查集合关系的应用，将不等式转化为函数，利用根的分布建立不等关系是解决本题的关键．