Question

21.某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中

A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点.已知

AA′＝14 m,CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m.

(Ⅰ)建立坐标系并写出该双曲线方程；

(Ⅱ)求冷却塔的容积(精确到10 m³,塔壁厚度不计，取3.14).

Answer 1

21.本小题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组等基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力.

解：(Ⅰ)如图建立直角坐标系xOy，AA′在x轴上，AA′的中点为坐标原点O，CC′与BB′平行于x轴.

设双曲线方程为－＝1(a>0,b>0),则a=AA′=7.     　

又设B(11，y₁),C(9,y₂),因为点B、C在双曲线上，所以有

＝1，     ①

＝1.       ②

由题意知y₂－y₁=20.         ③                                    

由①②③得y₁=－12,y₂=8,b=7.

故双曲线方程为－=1.                                         

 

(Ⅱ)由双曲线方程得x²=y²+49.

设冷却塔的容积为V m³,则

V＝dy

  　 ＝dy                                

　＝(y³+49y).

经计算得V＝4.25×10³ m³.

答：冷却塔的容积为4.25×10³ m³.