Question

某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴（即双曲线的虚轴）旋转所成的曲面，其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14m，CC′=18m，BB′=22m，塔高20m．

（Ⅰ）建立坐标系并写出该双曲线方程；

（Ⅱ）求冷却塔的容积（精确到10m³，塔壁厚度不计，π取3.14）．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）冷却塔的容积为

解析:

（I）如图建立直角坐标系xOy，AA′在x轴上，AA′的中点为坐标原点O，CC′与BB′平行于x轴.

设双曲线方程为则

又设B（11，y₁），C（9，y₂），因为点B、C在双曲线上，所以有

  ①

   ②

由题意知

 ③

由①、②、③得

故双曲线方程为

    （II）由双曲线方程得

          设冷却塔的容积为V（m³），则

          经计算得

         答：冷却塔的容积为