Question

（09年山东苍山期末文）（12分）

如下图所示：在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点。

（1）求证：AC⊥BC₁；

（2）求证：AC₁∥平面CDB₁；

（3）求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值。

Answer 1

解析：

（1）直三棱角柱ABC―A₁B₁C₁底面三边长AC=3，BC=4，AB=5

∴AC⊥BC且BC₁在平面ABC内的射影为BC

∴AC⊥BC₁

（2）设CB₁与C₁B的交点为E，连结DE

∵D是AB的中点，E是BC₁的中点

∴DE∥AC₁

DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，

∴AC₁平面CDB₁

（3）DE∥AC₁，∴∠CED为AC₁与B₁C所成的角

在△CED中，，，

∴

∴异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值为。