Question

如果直线y=kx+1与圆x²+y²+kx+my-4=0相交于M、N两点，且点M、N关于直线x+y=0对称，则不等式组

kx-y+1≥0 kx-my≤0 y≥0

所表示的平面区域的面积为

1

4

．

Answer 1

分析：由M与N关于x+y=0对称得到直线y=kx+1与x+y=0垂直，利用两直线垂直时斜率的乘积为-1，得到k的值；设出M与N的坐标，然后联立y=x+1与圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理得到两横坐标之和的关于m的关系式，再根据MN的中点在x+y=0上得到两横坐标之和等于-1，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，把k的值和m的值代入不等式组，在数轴上画出相应的平面区域，求出面积即可．

解答：解：∵M、N两点，关于直线x+y=0对称，
∴k=1，又圆心(-

k

2

，-

m

2

)在直线x+y=0上
∴-

k

2

-

m

2

=0
∴m=-1
∴原不等式组变为

x-y+1≥0 x+y≤0 y≥0

作出不等式组表示的平面区域，
△AOB为不等式所表示的平面区域，联立

y=-x y=x+1

解得B（-

1

2

，

1

2

），A（-1，0），
所以S_△AOB=

1

2

×|-1|×|-

1

2

|=

1

4

．
故答案为：

1

4

．

点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系、二元一次不等式（组）与平面区域等基本知识，考查学生灵活运用中点坐标公式化简求值，会进行简单的线性规划，是一道中档题．