已知a.b.c都是实数,证明ac＜0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知a、b、c都是实数,证明ac＜0是关于x的方程ax²+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.

证明：(1)充分性:

若ac＜0,则Δ=b²-4ac＞0,方程ax²+bx+c=0有两个相异的实根,设为x₁、x₂,

∵ac＜0,∴x₁·x₂=＜0,即x₁、x₂的符号相反,方程有一个正根和一个负根.

(2)必要性:

若方程ax²+bx+c=0有一个正根和一个负根,设为x₁、x₂,不妨设x₁＜0,x₂＞0.则x₁x₂=＜0,∴ac＜0.

由(1)(2)知ac＜0是方程ax²+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.

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领航中考命题调研系列答案

已知a、b、c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax²+2bx+c=0，bx²+2cx+a=0，cx²+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.

【解析】本试题主要考查了二次方程根的问题的综合运用。运用反证法思想进行证明。

先反设，然后推理论证，最后退出矛盾。证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，

则Δ₁=4b²－4ac≤0，Δ₂=4c²－4ab≤0，Δ₃=4a²－4bc≤0

相加有a²－2ab+b²+b²－2bc+c²+c²－2ac+a²≤0，

（a－b）²+（b－c）²+（c－a）²≤0.显然不成立。

证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，

则Δ₁=4b²－4ac≤0，Δ₂=4c²－4ab≤0，Δ₃=4a²－4bc≤0.

相加有a²－2ab+b²+b²－2bc+c²+c²－2ac+a²≤0，

（a－b）²+（b－c）²+（c－a）²≤0. ①

由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立.

∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.

1. 已知a、b、c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax²+2bx+c=0，bx²+2cx+a=0，cx²+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根，应假设成（）

A．三个方程都没有两个相异实根 B．一个方程没有两个相异实根

C．至多两个方程没有两个相异实根 D．三个方程不都没有两个相异实根

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