Question

在同一平面直角坐标系中，已知函数y=f（x）的图象与y=e^x的图象关于直线y=x对称，则函数y=f（x）对解析式为

 

；其应的曲线在点（e，f（e））处的切线方程为

 

．

Answer 1

分析：第一空：根据两函数的图象关于y=x对称可知，两函数互为反函数，所以求出已知函数的反函数即可得到f（x）的解析式；
第二空：求出f（x）的导函数，把x等于e代入导函数求出值即为切线方程的斜率，然后把x等于e代入f（x）中求出切点的纵坐标，根据切点坐标和斜率写出切线方程即可．

解答：解：根据题意，函数y=f（x）的图象与y=e^x的图象关于直线y=x对称，
由y=e^x，
解得x=lny，
所以f（x）=lnx；
f′(x)=

1

x

，所以切线的斜率k=f′（e）=

1

e

，
把x=e代入f（x）中得：f（e）=lne=1，所以切点坐标为（e，1）
则所求的切线方程为：y-1=

1

e

（x-e），化简得：y=

1

e

x
故答案为：f（x）=lnx；y=

1

e

x

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，掌握两函数互为反函数的条件，会根据一点和斜率写出直线的方程，是一道综合题．