题目内容

11.已知数列{an}的前n项和为Sn,其中a1=1,Sn=3Sn-1+1(n>1,n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为Tn,求Tn

分析 (1)利用递推式与等比数列的通项公式即可得出;
(2)利用等比数列的前n项和公式即可得出.

解答 解:(1)由Sn=3Sn-1+1(n>1,n∈N*)得Sn+1=3Sn+1,
∴Sn+1-Sn=3(Sn-Sn-1),即an+1=3an,(n>1,n∈N*),
又a1=1,得S2=3a1+1=a1+a2
∴a2=3,∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=3.
∴数列{an}是首项为1,公比为3的等比数列,
∴an=3n-1
(2)∵数列{an}是首项为1,公比为3的等比数列,
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1,公比为$\frac{1}{3}$的等比数列,
∴Tn=$\frac{1-(\frac{1}{3})^{n}}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}$[1-($\frac{1}{3}$)n].

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式及其前n项和公式,考查了变形能力、推理能力与计算能力,属于中档题.

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