Question

18．已知x+x^-1=4（0＜x＜1），求$\frac{{x}^{2}-{x}^{-2}}{{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}}$．

Answer 1

分析 由x+x^-1=4（0＜x＜1），可得${x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{（x+{x}^{-1}）+2}$，x-x^-1=-$\sqrt{（x-{x}^{-1}）^{2}}$=-$\sqrt{（x+{x}^{-1}）^{2}-4}$，代入即可得出．

解答 解：∵x+x^-1=4（0＜x＜1），
∴${x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{（x+{x}^{-1}）+2}$=$\sqrt{6}$，
x-x^-1=-$\sqrt{（x-{x}^{-1}）^{2}}$=-$\sqrt{（x+{x}^{-1}）^{2}-4}$=-2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{{x}^{2}-{x}^{-2}}{{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}}$=$\frac{（x+{x}^{-1}）（x-{x}^{-1}）}{{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}}$=$\frac{4×（-2\sqrt{3}）}{\sqrt{6}}$=-4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了乘法公式变形、指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．