Question

设函数f（x）=x²+ax+b（a，b为实常数），数列{a_n}，{b_n}定义为：a₁=

1

2

，2a_n+1=f（a_n）+15，b_n=

1

2+an

（n∈N^*）．已知不等式|f（x）≤2x²+4x-30|对任意实数x均成立．
（1）求实数a，b的值；
（2）若将数列{b_n}的前n项和与乘积分别记为S_n和T_n，证明：对任意正整数n，2ⁿ⁺¹T_n+S_n为定值；
（3）证明：对任意正整数n，都有2[1-（

4

5

）ⁿ]≤S_n＜2．

Answer 1

分析：（1）设方程2x²+4x-30=0的两个根为α，β，则|f（α）|≤0，从而f（α）=0，同理f（β）=0，由韦达定理能求出a和b．
（2）由f（x）=x²+2x-15，知bn=

1

2+an

=

an

2an+1

=

an2

2an+1an

=

an+1-an

an+1an

=

1

an

-

1

an+1

(n∈N+)，Tn=b1b2…bn=

a1

2a2

•

a2

2a3

…

an

2an+1

=

1

2n+1an-1

，（n∈N⁺），由此能够证明对任意n∈N⁺，有2ⁿ⁺¹T_n+S_n为定值．
（3）由a1＞0，an+1=

an2

2

+an，知{a_n}为单调递增的正数数列，由bn=

1

2+an

，n∈N+，知{b_n}为单调递减的正数数列，且b1=

2

5

．由此能够证明对任意正整数n，都有2[1-（

4

5

）ⁿ]≤S_n＜2．

解答：解：（1）设方程2x²+4x-30=0的两个根为α，β，则|f（α）|≤0，
从而f（α）=0，同理f（β）=0，
∴f（x）=（x-α）（x-β）．
由韦达定理得a=-（α+β）=2，b=αβ=-15．
（2）证明：由（1）知f（x）=x²+2x-15，
从而2a_n+1=a_n（a_n+2），即an+1=

an2

2

+an(n∈N+)，
∴bn=

1

2+an

=

an

2an+1

=

an2

2an+1an

=

an+1-an

an+1an

=

1

an

-

1

an+1

(n∈N+)，
Tn=b1b2…bn=

a1

2a2

•

a2

2a3

…

an

2an+1

=

1

2n+1an+1

，（n∈N⁺），
Sn=b1+b2+…+bn=(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)+…(

1

an

-

1

an+1

)
=2-

1

an+1

，(n∈N+)．
∴对任意n∈N⁺，有2ⁿ⁺¹T_n+S_n为定值．
（3）证明：∵a1＞0，an+1=

an2

2

+an，
∴a_n+1＞a_n＞0，n∈N⁺，
即{a_n}为单调递增的正数数列，
∵bn=

1

2+an

，n∈N+，
∴{b_n}为单调递减的正数数列，且b1=

2

5

．
于是Tn≤b1n-(

2

5

)n，n∈N+，
∵Sn=2-

1

an-1

=2-2n+1 Tn，n∈N+，
∴对任意正整数n，都有2[1-（

4

5

）ⁿ]≤S_n＜2．

点评：本题考查数列和函数的综合运用，解题时要认真审题，注意韦达定理、数列性质的合理运用．