Question

已知函数f（x）=ax²+bx（a≠0）的导函数f′（x）=2x-2，数列{a_n}的前n项和为S_n，点P_n（n，S_n）均在函数y=f（x）的图象上．若b_n=

1

2

（a_n+3）
（1）当n≥2时，试比较b_n+1与2bn的大小；
（2）记c_n=

1 bn

（n∈N^*），试证c₁+c₂+…+c₄₀₀＜39．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的导函数即可得到a与b的值，然后把P_n（n，S_n）代入到f（x）中得到S_n，利用a_n=S_n-S_n-1得到通项公式，利用2ⁿ的展开式得到比较b_n+1与2bn的大小关系；
（2）先求出数列{c_n}的通项公式，代入化简，然后利用裂项求和法求出数列{c_n}的前400项的和，从而证得不等式．

解答：解：（1）∵f（x）=ax²+bx（a≠0），∴f'（x）=2ax+b
由f′（x）=2x-2得：a=1，b=-2，所以f（x）=x²-2x
又因为点P_n（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上，所以有S_n=n²-2n
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-3，∴a_n=2n-3（n∈N^*）
当n=1时，a₁=S₁=-1，适合上式，因此a_n=2n-3（n∈N^*）．
从而b_n=n，b_n+1═n+1，2 bn=2ⁿ
当n≥2时，2ⁿ=（1+1）ⁿ=C_n⁰+C_n¹+…＞n+1
故b_n+1＞2 bn=2ⁿ
（2）c_n=

1 bn

=

1

n

，（n∈N^*），c₁=1
∴

1

n

=

2

n + n

＜

2

n + n-1

=2（

n

-

n-1

）（n≥2）
∴c₁+c₂+…+c₄₀₀＜1+2（

2

-1）+2（

3

-

2

）+2（

4

-

3

）+…+2（

400

-

399

）=2

400

-1＜39．

点评：本小题主要考查数列与函数的综合、数列与不等式的综合，以及掌握用裂项求和法的方法求数列前n项的和等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．