Question

6．已知a，b，c＞0，求$\frac{a+3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c}$的最小值，并求此时的a，b，c．

Answer 1

分析 a+2b+c=x，a+b+2c=y，a+b+3c=z，（x，y，z＞0），则c=z-y，b=x+z-2y，a=5y-3z-x，化简可得原式，再由基本不等式可得最小值，求得等号成立的条件．

解答 解：设a+2b+c=x，a+b+2c=y，a+b+3c=z，（x，y，z＞0），
则c=z-y，b=x+z-2y，a=5y-3z-x，
则原式=$\frac{2y-x}{x}$+$\frac{4（x+z-2y）}{y}$-$\frac{8（z-y）}{z}$
=（$\frac{2y}{x}$+$\frac{4x}{y}$）+（$\frac{4z}{y}$+$\frac{8y}{z}$）-17
≥2$\sqrt{\frac{2y}{x}•\frac{4x}{y}}$+2$\sqrt{\frac{4z}{y}•\frac{8y}{z}}$-17
=12$\sqrt{2}$-17．
当且仅当$\frac{2y}{x}$=$\frac{4x}{y}$，$\frac{4z}{y}$=$\frac{8y}{z}$即为y=$\sqrt{2}$x，z=$\sqrt{2}$y，
即有a=（$\sqrt{2}$-1）b，c=（$\sqrt{2}$+2）b取得最小值，
且为12$\sqrt{2}$-17．

点评 本题考查换元法和化简整理的能力，同时考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．