题目内容

【题目】【2017河北唐山三模】已知函数 .

(1)讨论函数的单调性;

(2)若函数在区间有唯一零点,证明: .

【答案】)见解析;()见解析.

【解析】试题分析:()求导得, 分 ,三种情况讨论可得单调区间.

)由(1)及可知:仅当极大值等于零,即

所以,且,消去,构造函数,证明单调且零点存在且唯一即可.

试题解析:(

,即,则

时, 单调递增,

,即,则,仅当时,等号成立,

时, 单调递增.

,即,则有两个零点

时, 单调递增;

时, 单调递减;

时, 单调递增.

综上所述,

时, 上单调递增;

时, 上单调递增,

上单调递减.

(Ⅱ)由(1)及可知:仅当极大值等于零,即时,符合要求.

此时, 就是函数在区间的唯一零点.

所以,从而有

又因为,所以

,则

,则

再由(1)知: 单调递减,

又因为

所以,即

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