题目内容
【题目】设数列的前
项的和为
且
数列
满足
且对任意正整数
都有
成等比数列.
(1)求数列的通项公式.
(2)证明数列为等差数列.
(3)令问是否存在正整数
使得
成等比数列?若存在,求出
的值,若不存在,说明理由.
【答案】(1)(2)见证明;(3)见证明
【解析】
(1)利用项和公式求数列的通项公式.(2)由题得
,
,即
,再求出
,再利用等差数列的定义证明数列
为等差数列.(3) 先求出
,所以
,根据
成等比数列得
,即
,再求出m,k的值.
(1)因为数列的前
项的和
,
所以当时,
;
当且
时,
,
当时,上式也成立,
所以数列的通项公式为
.
(2)证明:因为对任意正整数都有
成等比数列,
所以,即
,
所以,
两式相除得,对任意正整数都有
,
即,
当为奇数时,
,所以
,
当为偶数时,
,而
,所以
,
所以.
所以,
所以数列为等差数列.
(3)因为,
所以,
因此存在正整数,使得
成等比数列
,
因为都是正整数,则
,
即时,对应的
.
所以存在或
或
使得
成等比数列.

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