题目内容
设函数,其中
.
(1)若,求
在
的最小值;
(2)如果在定义域内既有极大值又有极小值,求实数
的取值范围;
(3)是否存在最小的正整数,使得当
时,不等式
恒成立.
【答案】
(1);
(2)
;(3) 存在最小的正整数
,使得当
时,不等式
恒成立.
【解析】
试题分析:(1) 由题意易知,(
)得
(
舍去)
所以当时,
单调递减;当
时,
单调递增,则
;
(2)由在定义域内既有极大值又有极小值可转化为
的导函数
在
有两个不等实根,即
在
有两个不等实根,可求出
的范围.
(3) 由不等式,令
即可构造函数
,再利用导数证明
在
即可.
试题解析:(1)由题意知,的定义域为
,当
时,由
,得
(
舍去),当
时,
,当
时,
,所以当
时,
单调递减;当
时,
单调递增,
∴.
(2)由题意在
有两个不等实根,即
在
有两个不等实根,设
,又对称轴
,则
,解得
.
(3)对于函数,令函数
,则
,
,所以函数
在
上单调递增,又
时,恒有
,即
恒成立.取
,则有
恒成立.显然,存在最小的正整数
,使得当
时,不等式
恒成立.
考点:1.利用导数求函数最值;2.利用导数求参数范围 3.构造函数证明不等式恒成立.
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