Question

13、已知定义在R上的奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称，f（-1）=1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）的值为

-1

．

Answer 1

分析：先由图象关于直线x=1对称得f（2-x）=f（x），再与奇函数条件结合起来，有f（x+4）=f（x），得f（x）是以4为周期的周期函数再求解．

解答：解；∵图象关于直线x=1对称
∴f（2-x）=f（x）
∵f（x）是奇函数
∴f（-x）=-f（x）
f（2+x）=-f（x）
∴f（x+4）=f（x）
∴f（x）是以4为周期的周期函数．
∵f（1）=-1，f（2）=-f（0）=0，f（3）=f（2+1）=-f（1）=1，f（4）=f（4+0）=f（0）=0
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）=f（2009）=f（502×4+1）=f（1）=-1
故答案为：-1

点评：本题主要考查函数的奇偶性和对称性以及性质间的结合与转化，如本题周期性就是由奇偶性和对称性结合转化而来的．