题目内容
已知f（x）=4|x|3-2a|x|．
（1）设f（x）图象在点（-1，f（-1））处的切线方程是2x+y+b=0，求b的值．
（2）是否存在实数a，使得函数在[-1，1]内的最小值为-2，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
（1）设f（x）图象在点（-1，f（-1））处的切线方程是2x+y+b=0，求b的值．
（2）是否存在实数a，使得函数在[-1，1]内的最小值为-2，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）先把f（x）化为分段函数，由x＜0时可得f′（x），根据f′（-1）=-2可得a，从而得f（-1），由点（-1，-6）在直线y+2x+b=0上可得b；
（2）易知f（x）是偶函数，f（x）在[-1，1]内的最小值为-2充要条件是f（x）在[0，1]内的最小值为-2，当x∈[0，1]时，f（x）=4x3-2ax，利用导数可求f（x）在[0，1]内的最小值，令其为-2解出a验证条件即可，注意分类讨论；
（2）易知f（x）是偶函数，f（x）在[-1，1]内的最小值为-2充要条件是f（x）在[0，1]内的最小值为-2，当x∈[0，1]时，f（x）=4x3-2ax，利用导数可求f（x）在[0，1]内的最小值，令其为-2解出a验证条件即可，注意分类讨论；
解答：解：（1）f（x）=4|x|3-2a|x|=
，
当x＜0时，f'（x）=-12x2+2a，
∵x=-1时，切线的斜率是-2，∴f'（-1）=-2，即-12+2a=-2，a=5，
此时f（-1）=4-10=-6，点（-1，-6）在直线y+2x+b=0上，
∴b=8；
（2）∵f（x）是偶函数，f（x）在[-1，1]内的最小值为-2充要条件是f（x）在[0，1]内的最小值为-2，
当x∈[0，1]时，f（x）=4x3-2ax，f'（x）=12x2-2a，
令f’（x）=0，则x=±
(a≥0)，
①当
≥1，即a≥6，x∈[0，1]时，f’（x）＜0，f（x）在[0，1]上是减函数，其最小值为f（1），令f（1）=-2，4-2a=-2，a=3，不合题意舍去．
②当0＜
＜1，即0＜a＜6时，
f（x）在[0，1]的最小值为f（
），
令f（
）=-2，即4（
）3-2a
=-2，
解之得：a=
=
∈[0，6]，
∴存在实数a=
，使得函数在[-1，1]内的最小值为-2．
|
当x＜0时，f'（x）=-12x2+2a，
∵x=-1时，切线的斜率是-2，∴f'（-1）=-2，即-12+2a=-2，a=5，
此时f（-1）=4-10=-6，点（-1，-6）在直线y+2x+b=0上，
∴b=8；
（2）∵f（x）是偶函数，f（x）在[-1，1]内的最小值为-2充要条件是f（x）在[0，1]内的最小值为-2，
当x∈[0，1]时，f（x）=4x3-2ax，f'（x）=12x2-2a，
令f’（x）=0，则x=±
|
①当
|
②当0＜
|
| x | 0 | （0，
|
|
（
|
1 | ||||||||||||
| f（x） | - | 0 | + | ||||||||||||||
| f’（x） | 0 | ↓ | 取极小值 | ↑ | 4-2a |
|
令f（
|
|
|
解之得：a=
| 3 | |||
|
3
| |||
| 2 |
∴存在实数a=
3
| |||
| 2 |
点评：本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值，考查转化思想，考查学生分析问题解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目