题目内容
【题目】已知为等腰直角三角形,
,将
沿底边上的高线
折起到
位置,使
,如图所示,分别取
的中点
.
(1)求二面角的余弦值;
(2)判断在线段上是否存在一点
,使
平面
?若存在,求出点
的位置,若不存在,说明理由.
【答案】(1)(2)点
是线段
的中点时,
平面
.
【解析】
试题(1)以所在直线为
轴建立空间直角坐标系,分别求出平面
与平面
的一个法向量,根据空间向量夹角余弦公式,可得结果;(2)假设在线段
上存在一点
,使
平面
,设
,根据
可求得
.
试题解析:由题知,且
,分别以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系,则点
.
(1),设平面
的法向量为
,则
,得
,得
,当
时,得
,同理可得平面
的一个法向量为
,那么
,
所以二面角的余弦值为
;
(2)假设在线段上存在一点
,使
平面
,设
,
则由,得
,得
,
那么,当
平面
时,
,
即存在实数,使
,解得
,那么
,
即点是线段
的中点时,
平面
.
【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求二面角的大小以及存在性问题,属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系,分别记录了4月1日至4月5日每天的昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下表格:
日期 | 4月1日 | 4月2日 | 4月3日 | 4月4日 | 4月5日 |
温差 | 12 | 11 | 13 | 10 | 8 |
发芽率 | 26 | 25 | 30 | 23 | 16 |
(1)从这5天中任选2天,求至少有一天种子发芽数超过25颗的概率;
(2)请根据4月1日、4月2日、4月3日这3天的数据,求出关于
的线性回归方程
;
(3)根据(2)中所得的线性回归方程,预测温差为时,种子发芽的颗数.
参考公式:,