Question

已知函数f（x）=log_a^x（a＞0，a≠1）
（1）若f（x₁x₂…x₂₀₀₉）=10，求f（x₁²）+f（x₂²）+…f（x₂₀₀₉²）的值；
（2）当x∈（-1，0）时，g（x）=f（x+1）＞0，求a的取值范围；
（3）若g（x）=f（x+1），当动点P（x，y）在y=g（x）的图象上运动时，点M（

x

3

，

y

2

）在函数y=H（x）的图象上运动，求y=H（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）利用对数运算性质和幂运算性质，将所求代数式化简为2f（x₁x₂…x₂₀₀₉）即可；
（2）先计算内层函数的值域，再利用对数函数的图象性质即可得a的取值范围；
（3）先将点M的坐标设为M（u，v），从而用M的坐标表示P点坐标，最后代入P的方程即可得M的轨迹方程，即H（x）的解析式

解答：解：（1）∵f（x₁x₂…x₂₀₀₉）=log_a（x₁x₂…x₂₀₀₉）=10，
∴f（x₁²）+f（x₂²）+…f（x₂₀₀₉²）=log_a（x₁²）+log_a（x₂²）+…+log_a（x₂₀₀₉²）
=log_a（x₁x₂…x₂₀₀₉）²
=2log_a（x₁x₂…x₂₀₀₉）
=20
（2）g（x）=f（x+1）=log_a（x+1）
∵x∈（-1，0），∴x+1∈（0，1）
∵log_a（x+1）＞0
∴0＜a＜1，即a的范围为（0，1）
（3）g（x）=f（x+1）=log_a（x+1）
设M（u，v），则

u= x 3 v= y 2

，∴

x=3u y=2v

∵代入y=log_a（x+1）得：2v=log_a（3u+1）
∴v=

1

2

log_a（3u+1）
∴y=H（x）的解析式为H（x）=

1

2

log_a（3x+1）

点评：本题考查了对数运算性质和幂运算性质，对数函数的图象和性质，代入法求动点轨迹方程